一、完全平方數的定義和性質

1、完全平方數

完全平方即用一個整數乘以自己例如$11$，$22$，$3*3$等等，依此類推。

若一個數能表示成某個數的平方的形式，則稱這個數為完全平方數。

完全平方數是非負數。而一個完全平方數的項有兩個。注意不要與完全平方式所混淆。

2、完全平方數的性質

性質1：平方數的個位數字只能是0，1，4，5，6，9。

性質2：奇數的平方的個位數字為奇數，十位數字為偶數。

性質3：如果完全平方數的十位數字是奇數，則它的個位數字一定是6；反之，如果完全平方數的個位數字是6，則它的十位數字一定是奇數。

性質4：凡個位數字是5，但末兩位數字不是25的自然數不是完全平方數；末尾只有奇數個“0”的自然數（不包括0本身）不是完全平方數；個位數字為1，4，9而十位數字為奇數的自然數不是完全平方數。

性質5：偶數的平方是4的倍數；奇數的平方是4的倍數加1。

性質6：奇數的平方是8$n$+1型；偶數的平方為8$n$或8$n$+4型。

性質7：平方數的形式必為下列兩種之一：3$n$，3$n$+1。

性質8：不能被5整除的數的平方為5$n$±1型，能被5整除的數的平方為5$n$型。

性質9：平方數的形式具有下列形式之一：16$n$，16$n$+1，16$n$+4，16$n$+9。

性質10：$a^2b$為完全平方數的充要條件是$b$為完全平方數。

性質11：如果質數$p$能整除$a$，但$p^2$不能整除$a$，則$a$不是完全平方數。

性質12：在兩個相鄰的整數的平方數之間的所有整數都不是完全平方數，即若$n^2<k$$<(n+1)^2$，則$k$一定不是完全平方數。

性質13：一個正整數$n$是完全平方數的充分必要條件是$n$有奇數個因子（包括1和$n$本身）。

二、完全平方數的相關例題

使得3$^n$+81是完全平方數的正整數$n$有___個。

A．0 B．1 C．2 D．3

答案：B

解析：當$n\leqslant4$時，易知3$^n$+81不是完全平方數，故設$n=$$k+4$$(k∈\mathbf{N}^*)$。則3$^n$+81=81(3$^k$+1)。因為3$^n$+81是完全平方數，而81是平方數，所以，一定存在正整數$x$，使得3$^k$+1=$x^2$，即$3^k=x^2-1=(x+1)(x-1)$。故$x+1$、$x-1$都是3的方冪。又兩個數$x+1$、$x-1$相差2，則只可能是3和1。從而，$x=2$，$k=1$。因此，存在唯一的正整數$n=k$+4=5， 使得3$^n$+81為完全平方數。故答案為B。