行列式一定是方陣，行列式在數學中，是一個函數，其定義域為det的矩陣A，取值為一個標量，寫作det(A)或 | A | 。無論是在線性代數、多項式理論，還是在微積分學中（比如說換元積分法中），行列式作為基本的數學工具，都有著重要的應用。

行列式的性質

①行列式A中某行(或列)用同一數k乘,其結果等于kA。

②行列式A等于其轉置行列式AT(AT的第i行為A的第i列)。

③若n階行列式|αij|中某行(或列);行列式則|αij|是兩個行列式的和，這兩個行列式的第i行(或列),一個是b1,b2,…,bn；另一個是с1，с2,…,сn；其余各行（或列）上的元與|αij|的完全一樣。

④行列式A中兩行（或列）互換,其結果等于-A。 ⑤把行列式A的某行（或列）中各元同乘一數后加到另一行（或列）中各對應元上，結果仍然是A。

行列式的現代概念

進入十九世紀后，行列式理論進一步得到發展和完善。奧古斯丁?路易?柯西在1812年首先將“determinant”一詞用來表示十八世紀出現的行列式，此前高斯只不過將這個詞限定在二次曲線所對應的系數行列式中。柯西也是最早將行列式排成方陣并將其元素用雙重下標表示的數學家（垂直線記法是阿瑟?凱萊在1841年率先使用的）柯西還證明了行列式行列式的性質（實際上是矩陣乘法），這個定理曾經在雅克?菲利普?瑪利?比內的書中出現過，但沒有證明。

十九世紀五十年代，凱萊和詹姆斯?約瑟夫?西爾維斯特將矩陣的概念引入數學研究中。行列式和矩陣之間的密切關系使得矩陣論蓬勃發展的同時也帶來了許多關于行列式的新結果，例如阿達馬不等式、正交行列式、對稱行列式等等。

與此同時，行列式也被應用于各種領域中。高斯在二次曲線和二次型的研究中使用行列式作為二次曲線和二次型劃歸為標準型時的判別依據。之后，卡爾?魏爾斯特拉斯和西爾維斯特又完善了二次型理論，研究了解析失敗 (PNG 轉換失敗; 請檢查是否正確安裝了 latex, dvips, gs 和 convert): \lambda 矩陣的行列式以及初等因子。行列式被用于多重函數的積分大約始于十九世紀三十年代。1832年至1833年間卡爾?雅可比發現了一些特殊結果，1839年，歐仁?查爾?卡塔蘭發現了所謂的雅可比行列式。1841年，雅可比發表了一篇關于函數行列式的論文，討論函數的線性相關性與雅可比行列式的關系

現代的行列式概念最早在19世紀末傳入中國。1899年，華蘅芳和英國傳教士傅蘭雅合譯了《算式解法》十四卷，其中首次將行列式翻譯成“定準數”。1909年顧澄在著作中稱之為“定列式”。1935年8月，中國數學會審查各種術語譯名，9月教育部公布的《數學名詞》中正式將譯名定為“行列式”。其后“行列式”作為譯名沿用至今。