天元術主要貢獻者是李治和朱世杰，李治在數學專著《測圓海鏡》（12卷）中通過勾股容圓問題全面地論述了設立未知數和列方程的步驟、技巧、運算法則，以及文字符號表示法等，使天元術發展到相當成熟的新階段。

天元術

天元術是利用未知數列方程的一般方法，與現代代數學中列方程的方法基本一致，在古代數學中，列方程和解方程是相互聯系的兩個重要問題。

“天元”二字首次出現在北宋數學家蔣周的《益古集》中。此后，李文一的《照膽》，石信道的《鈐經》，劉汝諧的《如積釋鎖》，李思聰的《洞淵九容》等著作均對“天元術”進行了一定闡述。但這些方法不系統，一般淺談輒止。對天元術貢獻最大的數學家當屬金元人李冶和朱世杰。李冶的《測圓海鏡》、《益古演段》，朱世杰的《算學啟蒙》、《四元玉鑒》都系統地介紹了用天元術建立二次方程。

公元1248年，12卷的《測圓海鏡》的天元術專著誕生。從此書開始，文詞代數演變成符號代數。《測圓海鏡》是一本高雅、正宗的數學專著。其高雅之處有三：

一是總結性強。該書第一卷“識別雜記”闡述了用勾股弦求內切圓直徑的方法，這些方法都是整合前代數學家所成。該書600多條定義，就是古代勾股容圓的總結。從第二卷起，他總結出一套行之有效的天元術程序，并用182種方法先后解答了148個問題。

二是專業度高。書中所列的天元術理論，勾股形解法，數學抽象化的新起點等知識，都是當時最先進的理論知識。

三是敢于創新。為了計算方便，該書中首次使用了負號（在數字上面加一橫）和符號○（中文數字），以及一套先進的小數記法。這些都比西方數學家早幾百年。

李治很快認識到，自己花費十幾年心血寫出的《測圓海鏡》太過高雅、精深，一般人看不懂，普及天元術從何談起？為此，他決心寫一部天元術的基礎讀物。經過十幾年努力，他終于完成了三卷《益古演段》。“益古”指蔣周的專著《益古集》，“演段”即《益古集》中演示的條段法。所謂條段法，是根據古書《九章算術》中用幾何方法代替代數方程的方法，因方程中各項均用條形面積所表示而得名。很顯然，條段法是一種舊法，雖然直觀，但計算麻煩且占篇幅。《益古演段》正是把條段法轉化為天元術的第一理論書，正如序言所講：“使粗知十百者，便得入室啖其文，顧不快哉！”

《益古演段》最大特色就是用天元術解決日常所見的方、圓面積等問題。除四道題是一次方程外，其它都是二次方程，內容安排基本上是從易到難。當時只要熟讀《益古演段》，便可依葫蘆畫瓢地列出方程解決類似問題。可以這么說，目前初中數學教材上的一元二次方程，其解題思想均來自于李冶的《益古演段》。

《測圓海鏡》和《益古演段》成為世界上至今保留下來的有關“天元術”研究的最早、最完整而詳細的著作。如果說之前的天元術還像一棵小樹，那經過這李冶這兩本書的“灌溉”，小樹長得枝葉繁茂。

天元術是宋元時期數學家作出的重要貢獻，但當某個問題中包含多個未知數時，應當怎么辦呢？朱世杰將天元術原理應用于聯立方程組，在著作《四元玉鑒》中指出，當未知數不止一個時，除設天元外，根據需要還可以設地元、人元、物元，這就相當于我們今天常用的字母符號x、y、z、u，然后列出有四個未知數的四元聯立高次方程組。朱世杰在《四元玉鑒》中給出了天、地、人、物四元及常數項的算籌放置方法，進而舉例說明了如何用消去法逐漸消去多元方程組中的未知數，最終得到一個只含一個未知數的一元高次方程的方法。《四元玉鑒》雖未提及一元高次方程的解法，但這個問題顯然已不成為問題了，朱世杰的前人已解決了它。在歐洲，法國數學家貝佐于18世紀也系統敘述了高次方程組的消元法。由天元術引入的四元術，不僅是中國古代數學領域最光輝的篇章，也是中世紀世界數學史上最杰出的一頁。

天元術的成熟，標志著中國代數學進入了“半數學符號”發展階段。由于各種原因，這個階段持續時間比較長。公元1798年，清代藏書家鮑廷博刊印的《知不足齋叢書》中收錄了后人學習天元術的《測圓海鏡細草》十二卷；此后，數學家焦循和李銳合寫的《天元一釋》和《開方通釋》兩書，用較為明白的語言詳細記載了解未知數的天元術。至此，天元術終于和現代方程論融合于一體。

天元術的發明，在世界數學史上有重要的意義。西方數學史上，16世紀的法國數學家韋達較為系統地引進數學符號，比中國天元術晚了300多年。

天元術影響

天元術的出現，提供了列方程的統一方法，其步驟要比阿拉伯數學家的代數學進步得多。而在歐洲，只是到了十六世紀才做到這一點。此外，宋代創立的增乘開方法又簡化了求解數學高次方程正根的運算過程。因此，在這一時期，列方程和解方程都有了簡單明確的方法和程式，中國古典代數學發展到了比較完備的階段。

不僅如此，繼天元術之后，數學家又很快把這種方法推廣到多元高次方程組，如李德載《兩儀群英集臻》有天、地二元，劉大鑒《乾坤括囊》有天、地、人三元等，最后又由朱世杰創立了四元術。

貢獻者簡介

李治

李冶（1192年—1279年），原名李治，字仁卿，自號敬齋，真定欒城（今河北省石家莊市欒城區）人。金元時期的數學家。金正大末進士，辟知鈞州。

金亡北渡后，流落忻崞間，常與元好問唱和，世稱“元李”。晚家封龍山（今河北省元氏縣）下，隱居講學。元世祖至元初，以翰林學士召，就職期月，以老病辭歸。能詩詞，有《敬齋集》，今有考訂之作《敬齋古今黈》40卷傳世。另著有《測圓海鏡》12卷（1248年）、《益古演段》3卷（1259年）、《泛說》40卷、《壁書叢削》12卷。

李冶在數學上的主要貢獻是天元術（設未知數并列方程的方法），用以研究直角三角形內切圓和旁切圓的性質。與楊輝、秦九韶、朱世杰并稱為“宋元數學四大家”。

朱世杰

朱世杰（1249年－1314年），字漢卿，號松庭，漢族，燕山（今北京）人氏，元代數學家、教育家，畢生從事數學教育。有“中世紀世界最偉大的數學家”之譽。朱世杰在當時天元術的基礎上發展出“四元術”，也就是列出四元高次多項式方程，以及消元求解的方法。此外他還創造出“垛積法”，即高階等差數列的求和方法，與“招差術”，即高次內插法。主要著作是《算學啟蒙》與《四元玉鑒》。