正定矩陣不一定是對稱的。正定矩陣在實數域上是對稱矩陣，在復數域是厄米特矩陣(共軛對稱)。對于一個具體的實對稱矩陣，通常用來判斷其正定性的是矩陣各階的主子式是否大于零；對于抽象矩陣，給定矩陣的正定性，利用標準型、特征值和充要條件證明相關矩陣的正定性。

正定矩陣定義

（1）廣義定義：設M是n階方陣，如果對任何非零向量z，都有zTMz> 0，其中zT表示z的轉置，就稱M為正定矩陣。

例如：B為n階矩陣，E為單位矩陣，a為正實數。在a充分大時，aE+B為正定矩陣。（B必須為對稱陣）

（2）狹義定義：一個n階的實對稱矩陣M是正定的的條件是當且僅當對于所有的非零實系數向量z，都有zTMz> 0。其中zT表示z的轉置。

正定矩陣都是對稱矩陣嗎

不一定是對稱的。

正定矩陣在實數域上是對稱矩陣。在復數域上是厄米特矩陣（共軛對稱）。

因為正定矩陣在定義的時候就是要在厄米特矩陣的域內（實數域上是對稱矩陣）。

如果只是要求矩陣M有(x^T)Mx>0,那么任何矩陣M，只要其滿足A=(M+M^T）/2，且(x^T)Ax>0,即可。例如，M=[1 -1;1 1] ，A=[1 0;0 1]。但如果M不是厄米特矩陣，一般不討論他的正定性。

例如：

A=[1 1;-1,1]

這個矩陣滿足對于任意實非零向量向量x=(x1,x2)，有x^TAx>0，因此是正定的。

如果一個矩陣A是正定的，那么對稱矩陣B=(A+A^T）/2也是正定的，這是判定一個實系數矩陣是否為正定矩陣的充要條件。

對于任意對稱矩陣B，我們可以對其進行卡氏分解。

對于復系數矩陣，我們有B=(A+A*）/2為正定矩陣。