正定矩陣一定是實(shí)對(duì)稱矩陣嗎
2021-09-10 16:27:49文/丁雪竹不一定是對(duì)稱的。正定矩陣在實(shí)數(shù)域上是對(duì)稱矩陣。在復(fù)數(shù)域上是厄米特矩陣(共軛對(duì)稱)。 因?yàn)檎ň仃囋诙x的時(shí)候就是要在厄米特矩陣的域內(nèi)(實(shí)數(shù)域上是對(duì)稱矩陣)。
正定矩陣定義
（1）廣義定義：設(shè)M是n階方陣，如果對(duì)任何非零向量z，都有zTMz> 0，其中zT表示z的轉(zhuǎn)置，就稱M為正定矩陣。
例如：B為n階矩陣，E為單位矩陣，a為正實(shí)數(shù)。在a充分大時(shí)，aE+B為正定矩陣。（B必須為對(duì)稱陣）
（2）狹義定義：一個(gè)n階的實(shí)對(duì)稱矩陣M是正定的的條件是當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于所有的非零實(shí)系數(shù)向量z，都有zTMz> 0。其中zT表示z的轉(zhuǎn)置。
矩陣正定性的性質(zhì)
1、正定矩陣的特征值都是正數(shù)。
2、正定矩陣的主元也都是正數(shù)。
3、正定矩陣的所有子行列式都是正數(shù)。
4、正定矩陣將方陣特征值，主元，行列式融為一體。
正定矩陣的特征方法
1、 對(duì)稱矩陣A正定的充分必要條件是A的n個(gè)特征值全是正數(shù)。
2、對(duì)稱矩陣A正定的充分必要條件是A合同于單位矩陣E。
3、對(duì)稱矩陣A正定(半正定)的充分必要條件是存在n階可逆矩陣U使A=U^TU
4、對(duì)稱矩陣A正定，則A的主對(duì)角線元素均為正數(shù)。
5、對(duì)稱矩陣A正定的充分必要條件是:A的n個(gè)順序主子式全大于零。
正定矩陣一定是實(shí)對(duì)稱矩陣嗎 有什么關(guān)系實(shí)對(duì)稱矩陣是“母”概念。正定矩陣是“子”概念。正定...
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