2023年普通高等學校招生全國統一考試（全國乙卷）

文科數學

一、選擇題

1. （    ）

A. 1 B. 2 C.  D. 5

2. 設全集，集合，則（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 如圖，網格紙上繪制的一個零件的三視圖，網格小正方形的邊長為1，則該零件的表面積為（    ）

A 24 B. 26 C. 28 D. 30

4. 在中，內角的對邊分別是，若，且，則（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 已知是偶函數，則（    ）

A.  B.  C. 1 D. 2

6. 正方形的邊長是2，是的中點，則（    ）

A  B. 3 C.  D. 5

7. 設O為平面坐標系的坐標原點，在區域內隨機取一點A，則直線OA的傾斜角不大于的概率為（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 函數存在3個零點，則的取值范圍是（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 某學校舉辦作文比賽，共6個主題，每位參賽同學從中隨機抽取一個主題準備作文，則甲、乙兩位參賽同學抽到不同主題概率（    ）

A.  B.  C.  D.

10. 已知函數在區間單調遞增，直線和為函數的圖像的兩條對稱軸，則（    ）

A.  B.  C.  D.

11. 已知實數滿足，則的最大值是（    ）

A.  B. 4 C.  D. 7

12. 設A，B為雙曲線上兩點，下列四個點中，可為線段AB中點的是（    ）

A.  B.  C.  D.

二、填空題

13. 已知點在拋物線C：上，則A到C的準線的距離為______.

14. 若，則________．

15. 若x，y滿足約束條件，則的最大值為______.

16. 已知點均在半徑為2的球面上，是邊長為3的等邊三角形，平面，則________．

三、解答題

17. 某廠為比較甲乙兩種工藝對橡膠產品伸縮率的處理效應，進行10次配對試驗，每次配對試驗選用材質相同的兩個橡膠產品，隨機地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產品的伸縮率．甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產品的伸縮率分別記為，．試驗結果如下：

記，記樣本平均數為，樣本方差為．

（1）求，；

（2）判斷甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產品的伸縮率是否有顯著提高（如果，則認為甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產品的伸縮率有顯著提高，否則不認為有顯著提高）

18. 記為等差數列的前項和，已知．

（1）求的通項公式；

（2）求數列的前項和．

19. 如圖，在三棱錐中，，，，，的中點分別為，點在上，．

（1）求證：//平面；

（2）若，求三棱錐的體積．

20. 已知函數．

（1）當時，求曲線在點處的切線方程．

（2）若函數在單調遞增，求的取值范圍．

21. 已知橢圓的離心率是，點在上．

（1）求的方程；

（2）過點的直線交于兩點，直線與軸的交點分別為，證明：線段的中點為定點．

【選修4-4】（10分）

22. 在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，曲線：（為參數，）.

（1）寫出直角坐標方程；

（2）若直線既與沒有公共點，也與沒有公共點，求的取值范圍．

【選修4-5】（10分）

23. 已知

（1）求不等式的解集；

（2）在直角坐標系中，求不等式組所確定的平面區域的面積．