2023年普通高等學校招生全國統一考試（全國乙卷）

理科數學

一、選擇題

1. 設，則（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 設集合，集合，，則（    ）

A.  B.

C.  D.

3. 如圖，網格紙上繪制的一個零件的三視圖，網格小正方形的邊長為1，則該零件的表面積為（    ）

A. 24 B. 26 C. 28 D. 30

4. 已知是偶函數，則（    ）

A.  B.  C. 1 D. 2

5. 設O為平面坐標系的坐標原點，在區域內隨機取一點，記該點為A，則直線OA的傾斜角不大于的概率為（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 已知函數在區間單調遞增，直線和為函數的圖像的兩條對稱軸，則（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 甲乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（    ）

A 30種 B. 60種 C. 120種 D. 240種

8. 已知圓錐PO的底面半徑為，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線，，若的面積等于，則該圓錐的體積為（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 已知為等腰直角三角形，AB為斜邊，為等邊三角形，若二面角為，則直線CD與平面ABC所成角的正切值為（    ）

A.  B.  C.  D.

10. 已知等差數列的公差為，集合，若，則（    ）

A. －1 B.  C. 0 D.

11. 設A，B為雙曲線上兩點，下列四個點中，可為線段AB中點的是（    ）

A  B.  C.  D.

12. 已知的半徑為1，直線PA與相切于點A，直線PB與交于B，C兩點，D為BC的中點，若，則的最大值為（    ）

A.  B.

C.  D.

二、填空題

13. 已知點在拋物線C：上，則A到C的準線的距離為______.

14. 若x，y滿足約束條件，則的最大值為______.

15. 已知為等比數列，，，則______.

16. 設，若函數在上單調遞增，則a取值范圍是______.

三、解答題

17. 某廠為比較甲乙兩種工藝對橡膠產品伸縮率的處理效應，進行10次配對試驗，每次配對試驗選用材質相同的兩個橡膠產品，隨機地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產品的伸縮率．甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產品的伸縮率分別記為，．試驗結果如下：

記，記的樣本平均數為，樣本方差為．

（1）求，；

（2）判斷甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產品的伸縮率是否有顯著提高（如果，則認為甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產品的伸縮率有顯著提高，否則不認為有顯著提高）

18. 在中，已知，，.

（1）求；

（2）若D為BC上一點，且，求面積.

19. 如圖，在三棱錐中，，，，，BP，AP，BC的中點分別為D，E，O，，點F在AC上，.

（1）證明：平面；

（2）證明：平面平面BEF；

（3）求二面角的正弦值.

20. 已知橢圓的離心率是，點在上．

（1）求的方程；

（2）過點的直線交于兩點，直線與軸的交點分別為，證明：線段的中點為定點．

21. 已知函數.

（1）當時，求曲線在點處的切線方程；

（2）是否存在a，b，使得曲線關于直線對稱，若存在，求a，b的值，若不存在，說明理由.

（3）若在存在極值，求a的取值范圍.

四、選做題

【選修4-4】（10分）

22. 在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，曲線：（為參數，）.

（1）寫出的直角坐標方程；

（2）若直線既與沒有公共點，也與沒有公共點，求的取值范圍.

【選修4-5】（10分）

23. 已知.

（1）求不等式的解集；

（2）在直角坐標系中，求不等式組所確定的平面區域的面積.