余弦定理的表達(dá)式是什么 公式及推導(dǎo)過程
2021-10-24 16:03:59文/李傲余弦定理是描述三角形中三邊長度與一個角的余弦值關(guān)系的數(shù)學(xué)定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推廣，勾股定理是余弦定理的特例。
余弦定理的表達(dá)式
余弦定理的推導(dǎo)過程
1、平面三角形證法
在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，作AD⊥BC于D，則AD=c*sinB，DC=a-BD=a-c*cosB
在Rt△ACD中，
b2=AD2+DC2=（c*sinB）2+（a-c*cosB）2
=c2sin2B+a2-2ac*cosB+c2cos2B
=c2（sin2B+cos2B）+a2-2ac*cosB
=c2+a2-2ac*cosB
2、平面向量證法
有a+b=c（平行四邊形定則：兩個鄰邊之間的對角線代表兩個鄰邊大小）
∴c·c=（a+b）·（a+b）
∴c2=a·a+2a·b+b·b∴c2=a2+b2+2|a||b|cos（π-θ）
又∵cos（π-θ）=-cosθ（誘導(dǎo)公式）
∴c2=a2+b2-2|a||b|cosθ
此即c2=a2+b2-2abcosC
即cosC=（a2+b2-c2）/2*a*b
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