有界函數是設f(x)是區間E上的函數，若對于任意的x屬于E，存在常數m、M，使得m≤f(x)≤M，則稱f(x)是區間E上的有界函數。其中m稱為f(x)在區間E上的下界，M稱為f(x)在區間E上的上界。

有界函數的定義

設函數f(x)的定義域為D，f（x）集合D上有定義。

如果存在數K1，使得 f(x)≤K1對任意x∈D都成立，則稱函數f(x)在D上有上界。

反之，如果存在數字K2，使得 f(x)≥K2對任意x∈D都成立，則稱函數f(x)在D上有下界，而K2稱為函數f(x)在D上的一個下界。

如果存在正數M，使得 |f(x)|≤M 對任意x∈D都成立，則稱函數在X上有界。如果這樣的M不存在，就稱函數f(x)在X上無界；等價于，無論對于任何正數M，總存在x1屬于X，使得|f(x1)|>M，那么函數f(x)在X上無界。

此外，函數f(x)在X上有界的充分必要條件是它在X上既有上界也有下界。

函數的性質

函數的有界性與其他函數性質之間的關系

函數的性質：有界性，單調性，周期性，連續性，可積性。

單調性：

閉區間上的單調函數必有界。其逆命題不成立。

連續性：

閉區間上的連續函數必有界。其逆命題不成立。

可積性：

閉區間上的可積函數必有界。其逆命題不成立。