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三角函數(shù)

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考試內(nèi)容：角的概念的推廣．弧度制．任意角的三角函數(shù)．單位圓中的三角函數(shù)線．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式.正弦、余弦的誘導(dǎo)公式．兩角和與差的正弦、余弦、正切．二倍角的正弦、余弦、正切．正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)．周期函數(shù)．函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像．正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)．已知三角函數(shù)值求角．正弦定理．余弦定理．斜三角形解法．

考試要求：（1）理解任意角的概念、弧度的意義能正確地進(jìn)行弧度與角度的換算．（2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義；了解余切、正割、余割的定義；掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式；掌握正弦、余弦的誘導(dǎo)公式；了解周期函數(shù)與最小正周期的意義．（3）掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．（4）能正確運(yùn)用三角公式，進(jìn)行簡(jiǎn)單三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值和恒等式證明．（5）理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)，會(huì)用“五點(diǎn)法”畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的簡(jiǎn)圖，理解A.ω、φ的物理意義．（6）會(huì)由已知三角函數(shù)值求角，并會(huì)用符號(hào)arcsinx\arc-cosx\arctanx表示．（7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步運(yùn)用它們解斜三角形．（8）“同角三角函數(shù)基本關(guān)系式：sin2α+cos2α=1，sinα/cosα=tanα,tanα?cosα=1”．

解題思路：

其關(guān)鍵是審清題意，畫出圖形，建立解三角形模型，最后解答。

1、解應(yīng)用題的一般步驟是：（1）分析：審題、理解題意，分清已知與未知，根據(jù)題意畫出示意圖；（2）建模：確定實(shí)際問題所涉及的三角形以及三角形中的已知或未知的元素。把已知量與求解量集中在一個(gè)三角形中；（3）求解：運(yùn)用正弦定理、余弦定理及面積公式等有序地解出這些子三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解。（4）檢驗(yàn)：檢驗(yàn)所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問題的解。

2、解應(yīng)用題中的幾個(gè)角的概念（1）仰角、俯角（2）方向角（3）方位角

三角函數(shù)? 知識(shí)要點(diǎn)

1. ①與（0°≤＜360°）終邊相同的角的集合（角與角的終邊重合）：

②終邊在x軸上的角的集合：

③終邊在y軸上的角的集合：

④終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合：

⑤終邊在y=x軸上的角的集合：

⑥終邊在軸上的角的集合：

⑦若角與角的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，則角與角的關(guān)系：

⑧若角與角的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，則角與角的關(guān)系：

⑨若角與角的終邊在一條直線上，則角與角的關(guān)系：

⑩角與角的終邊互相垂直，則角與角的關(guān)系：

2. 角度與弧度的互換關(guān)系：360°=2 180°= 1°=0.01745? 1=57.30°=57°18′

注意：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零.

、弧度與角度互換公式：? 1rad＝°≈57.30°=57°18ˊ．???? 1°＝≈0.01745（rad）

3、弧長(zhǎng)公式：.?????? 扇形面積公式：

4、三角函數(shù)：設(shè)是一個(gè)任意角，在的終邊上任?。ó愑谠c(diǎn)的）一點(diǎn)P（x,y）P與原點(diǎn)的距離為r，則? ；? ；? ；? ；? ；. .

5、三角函數(shù)在各象限的符號(hào)：（一全二正弦，三切四余弦）

6、三角函數(shù)線

?? 正弦線：MP;?? 余弦線：OM;??? 正切線： AT.

7. 三角函數(shù)的定義域：

8、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：? ?

???

9、誘導(dǎo)公式：

“奇變偶不變，符號(hào)看象限”

三角函數(shù)的公式：（一）基本關(guān)系

公式組二????????????????? 公式組三

??????????? ??????????????????????????????? ? ???

公式組四?????????????? 公式組五?????????????? 公式組六????????????

? ? ?????????????????????

（二）角與角之間的互換

公式組一????????????????????????????????? 公式組二

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?? ???

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公式組三??????????????????? 公式組四??????????????????????????????????? 公式組五

???????

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,,,.

10. 正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的圖象的性質(zhì)：

注意：①與的單調(diào)性正好相反；與的單調(diào)性也同樣相反.一般地，若在上遞增（減），則在上遞減（增）.

②與的周期是.

③或（）的周期.

的周期為2（，如圖，翻折無效）.

④的對(duì)稱軸方程是（），對(duì)稱中心（）；的對(duì)稱軸方程是（），對(duì)稱中心（）；的對(duì)稱中心（）.

⑤當(dāng)·；·.

⑥與是同一函數(shù),而是偶函數(shù)，則

.

⑦函數(shù)在上為增函數(shù).（×） [只能在某個(gè)單調(diào)區(qū)間單調(diào)遞增. 若在整個(gè)定義域，為增函數(shù)，同樣也是錯(cuò)誤的].

⑧定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是具有奇偶性的必要不充分條件.（奇偶性的兩個(gè)條件：一是定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（奇偶都要），二是滿足奇偶性條件，偶函數(shù)：，奇函數(shù)：）

奇偶性的單調(diào)性：奇同偶反. 例如：是奇函數(shù)，是非奇非偶.（定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）

奇函數(shù)特有性質(zhì)：若的定義域，則一定有.（的定義域，則無此性質(zhì)）

⑨不是周期函數(shù)；為周期函數(shù)（）；

是周期函數(shù)（如圖）；為周期函數(shù)（）；

的周期為（如圖），并非所有周期函數(shù)都有最小正周期，例如：

.

⑩ 有.

11、三角函數(shù)圖象的作法：

１）、幾何法：

２）、描點(diǎn)法及其特例——五點(diǎn)作圖法（正、余弦曲線），三點(diǎn)二線作圖法（正、余切曲線）.

３）、利用圖象變換作三角函數(shù)圖象．

三角函數(shù)的圖象變換有振幅變換、周期變換和相位變換等．

函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）的振幅|A|，周期，頻率，相位初相（即當(dāng)x＝0時(shí)的相位）．（當(dāng)A＞0，ω＞0 時(shí)以上公式可去絕對(duì)值符號(hào)），

由y＝sinx的圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（當(dāng)|A|＞1）或縮短（當(dāng)0＜|A|＜1）到原來的|A|倍，得到y(tǒng)＝Asinx的圖象，叫做振幅變換或叫沿y軸的伸縮變換．（用y/A替換y）

由y＝sinx的圖象上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)（0＜|ω|＜1）或縮短（|ω|＞1）到原來的倍，得到y(tǒng)＝sinω x的圖象，叫做周期變換或叫做沿x軸的伸縮變換．(用ωx替換x)

由y＝sinx的圖象上所有的點(diǎn)向左（當(dāng)φ＞0）或向右（當(dāng)φ＜0）平行移動(dòng)｜φ｜個(gè)單位，得到y(tǒng)＝sin（x＋φ）的圖象，叫做相位變換或叫做沿x軸方向的平移．(用x＋φ替換x)

由y＝sinx的圖象上所有的點(diǎn)向上（當(dāng)b＞0）或向下（當(dāng)b＜0）平行移動(dòng)｜b｜個(gè)單位，得到y(tǒng)＝sinx＋b的圖象叫做沿y軸方向的平移．（用y+(-b)替換y）

由y＝sinx的圖象利用圖象變換作函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）（x∈R）的圖象，要特別注意：當(dāng)周期變換和相位變換的先后順序不同時(shí)，原圖象延x軸量伸縮量的區(qū)別。

4、反三角函數(shù)：

函數(shù)y＝sinx，的反函數(shù)叫做反正弦函數(shù)，記作y＝arcsinx，它的定義域是［－1，1］，值域是．

函數(shù)y＝cosx，（x∈［0，π］）的反應(yīng)函數(shù)叫做反余弦函數(shù)，記作y＝arccosx，它的定義域是［－1，1］，值域是［0，π］．

函數(shù)y＝tanx，的反函數(shù)叫做反正切函數(shù)，記作y＝arctanx，它的定義域是（－∞，＋∞），值域是．

函數(shù)y＝ctgx，［x∈（0，π）］的反函數(shù)叫做反余切函數(shù)，記作y＝arcctgx，它的定義域是（－∞，＋∞），值域是（0，π）．

反三角函數(shù)：⑴反正弦函數(shù)是奇函數(shù)，故，（一定要注明定義域，若，沒有與一一對(duì)應(yīng)，故無反函數(shù)）

注：，，.

⑵反余弦函數(shù)非奇非偶，但有，.

注：①，，.

②是偶函數(shù)，非奇非偶，而和為奇函數(shù).

⑶反正切函數(shù)：，定義域，值域（），是奇函數(shù)，

，.

注：，.

⑷反余切函數(shù)：，定義域，值域（），是非奇非偶.

，.

注：①，.

②與互為奇函數(shù)，同理為奇而與非奇非偶但滿足.

⑵ 正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的解集：

的取值范圍?? 解集???????????????????????????? 的取值范圍?? 解集

①的解集?????????????????????????????? ②的解集

＞1????????? ????????????????????????????? ＞1???????????

=1????? ??????????? =1??

＜1???? ?????? ＜1?

③的解集：???

③的解集：

二、三角恒等式.

組一

組二

組三 三角函數(shù)不等式

＜＜??????????? 在上是減函數(shù)

若，則

經(jīng)典例題：