矩陣乘法對(duì)應(yīng)了一個(gè)變換，是把任意一個(gè)向量變成另一個(gè)方向或長(zhǎng)度都大多不同的新向量。在這個(gè)變換的過(guò)程中，原向量主要發(fā)生旋轉(zhuǎn)、伸縮的變化。如果矩陣對(duì)某一個(gè)向量或某些向量只發(fā)生伸縮變換，不對(duì)這些向量產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)的效果，那么這些向量就稱(chēng)為這個(gè)矩陣的特征向量，伸縮的比例就是特征值。

特征向量

矩陣的特征向量是矩陣?yán)碚撋系闹匾拍钪唬兄鴱V泛的應(yīng)用。數(shù)學(xué)上，線性變換的特征向量（本征向量）是一個(gè)非簡(jiǎn)并的向量，其方向在該變換下不變。該向量在此變換下縮放的比例稱(chēng)為其特征值（本征值）。

一個(gè)線性變換通常可以由其特征值和特征向量完全描述。特征空間是相同特征值的特征向量的集合。“特征”一詞來(lái)自德語(yǔ)的eigen。1904年希爾伯特首先在這個(gè)意義下使用了這個(gè)詞，更早亥爾姆霍爾茲也在相關(guān)意義下使用過(guò)該詞。eigen一詞可翻譯為”自身的”、“特定于……的”、“有特征的”、或者“個(gè)體的”，這顯示了特征值對(duì)于定義特定的線性變換的重要性。

特征向量的物理的含義

特征向量的物理的含義就是運(yùn)動(dòng)的圖景：特征向量在一個(gè)矩陣的作用下作伸縮運(yùn)動(dòng)，伸縮的幅度由特征值確定。特征值大于1，所有屬于此特征值的特征向量身形暴長(zhǎng)；

特征值大于0小于1，特征向量身形猛縮；

特征值小于0，特征向量縮過(guò)了界，反方向到0點(diǎn)那邊去了。