一、標準差的定義和公式

1、標準差

標準差是方差的算術平方根，用$σ$表示。標準差也被稱為標準偏差。

標準差是反映一組數據離散程度最常用的一種量化形式，是表示精確度的重要指標。

2、標準差公式

$S=\sqrt{\frac{1}{n}\left[ (x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\cdots+(x_n-\overline{x})^2 \right]}$。

3、方差：設有$n$個數據$x_1$，$x_2$，$\cdots$，$x_n$，各數據與它們的平均數$\overline{x}$的差的平方分別是$(x_1-\overline{x})^2$，$(x_2-\overline{x})^2$，$\cdots$，$(x_n-\overline{x})^2$， 我們用這些值的平均數，即用$\frac{1}{n}$$\left[ (x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\cdots+(x_n-\overline{x})^2 \right]$來衡量這組數據波動的大小，并把它叫做這組數據的方差，記作$s^2$。

4、方差公式

$s^2=\frac{1}{n}$$\left[ (x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\cdots+(x_n-\overline{x})^2 \right]$。

5、標準差刻畫了數據的離散程度或波動幅度，標準差越大，數據的離散程度越大；標準差越小，數據的離散程度越小。顯然，在刻畫數據的分散程度上，方差和標準差是一樣的。但在解決實際問題中，一般多采用標準差。

二、標準差的相關例題

數據5，7， 7，8， 10， 11的中位數和標準差分別為

A．中位數為7 ，標準差為2

B．中位數為7 ，標準差為4

C．中位數為7.5 ，標準差為4

D．中位數為7.5 ，標準差為2

答案：D

解析：數據按順序排列5， 7 ， 7，8， 10， 11 ，所以中位數是$\frac{7+8}{2}=7.5$，平均數是$\overline{x}$=$\frac{1}{6}×$(5+7+7+8+10+11)=8，標準差$s$=$\sqrt{\frac{1}{6}\left[ (5-8)^2+(7-8)^2+(7-8)^2 +(8-8)^2+(10-8)^2+(11-8)^2 \right]}$=2。故選：D