絕密 ★ 啟用前

2024年普通高等學校招生全國統一考試（新課標I卷）

數學

本試卷共10頁，19小題，滿分150分.

注意事項：

1.答題前，先將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.

3.填空題和解答題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區域內.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.

4.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并上交.

一、選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分. 在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的．請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.

1. 已知集合，則（    ）

A.  B.  C.  D.

2 若，則（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 已知向量，若，則（    ）

A.  B.  C. 1 D. 2

4. 已知，則（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側面積相等，且它們的高均為，則圓錐的體積為（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 已知函數為，在R上單調遞增，則a取值的范圍是（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 當時，曲線與的交點個數為（    ）

A. 3 B. 4 C. 6 D. 8

8. 已知函數為的定義域為R，，且當時，則下列結論中一定正確的是（    ）

A.  B.

C.  D.

二、選擇題：本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分. 在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求. 全部選對得 6 分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.

9. 為了解推動出口后的畝收入（單位：萬元）情況，從該種植區抽取樣本，得到推動出口后畝收入的樣本均值，樣本方差，已知該種植區以往的畝收入服從正態分布，假設推動出口后的畝收入服從正態分布，則（    ）（若隨機變量Z服從正態分布，）

A  B.

C.  D.

10. 設函數，則（    ）

A. 是的極小值點 B. 當時，

C. 當時， D. 當時，

11. 造型可以做成美麗的絲帶，將其看作圖中曲線C的一部分.已知C過坐標原點O.且C上的點滿足橫坐標大于，到點的距離與到定直線的距離之積為4，則（    ）

A.  B. 點在C上

C. C在第一象限的點的縱坐標的最大值為1 D. 當點在C上時，

三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分.

12. 設雙曲線左右焦點分別為，過作平行于軸的直線交C于A，B兩點，若，則C的離心率為___________．

13. 若曲線在點處的切線也是曲線的切線，則__________.

14. 甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標有一個數字，甲的卡片上分別標有數字1，3，5，7，乙的卡片上分別標有數字2，4，6，8，兩人進行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機選一張，并比較所選卡片上數字的大小，數字大的人得1分，數字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）.則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為_________.

四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15. 記內角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知，

（1）求B；

（2）若面積為，求c．

16. 已知和為橢圓上兩點.

（1）求C的離心率;

（2）若過P的直線交C于另一點B，且的面積為9，求的方程．

17. 如圖，四棱錐中，底面ABCD，，．

（1）若，證明：平面；

（2）若，且二面角的正弦值為，求．

18. 已知函數

（1）若，且，求的最小值；

（2）證明：曲線中心對稱圖形；

（3）若當且僅當，求的取值范圍．

19. 設m為正整數，數列是公差不為0的等差數列，若從中刪去兩項和后剩余的項可被平均分為組，且每組的4個數都能構成等差數列，則稱數列是可分數列．

（1）寫出所有的，，使數列是可分數列；

（2）當時，證明：數列是可分數列；

（3）從中一次任取兩個數和，記數列是可分數列的概率為，證明：．

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2024年普通高等學校招生全國統一考試（新課標I卷）

數學

本試卷共10頁，19小題，滿分150分.

注意事項：

1.答題前，先將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.

3.填空題和解答題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區域內.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.

4.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并上交.

一、選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分. 在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的．請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.

【1題答案】

【答案】A

【2題答案】

【答案】C

【3題答案】

【答案】D

【4題答案】

【答案】A

【5題答案】

【答案】B

【6題答案】

【答案】B

【7題答案】

【答案】C

【8題答案】

【答案】B

二、選擇題：本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分. 在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求. 全部選對得 6 分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.

【9題答案】

【答案】BC

【10題答案】

【答案】ACD

【11題答案】

【答案】ABD

三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分.

【12題答案】

【答案】

【13題答案】

【答案】

【14題答案】

【答案】##0.5

四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

【15題答案】

【答案】（1）   

（2）

【16題答案】

【答案】（1）   

（2）直線的方程為或.

【17題答案】

【答案】（1）證明見解析   

（2）

【18題答案】

【答案】（1）   

（2）證明見解析    （3）

【19題答案】

【答案】（1）   

（2）證明見解析    （3）證明見解析