2024年普通高等學校招生全國統一考試（天津卷）

數學

本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時120分鐘．第Ⅰ卷1至3頁，第Ⅱ卷4至6頁．

答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上，并在規定位置粘貼考試用條形碼．答卷時，考生務必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無效．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．

祝各位考生考試順利！

第Ⅰ卷（選擇題）

注意事項：

1．每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．

2．本卷共9小題，每小題5分，共45分．

參考公式：

·如果事件互斥，那么．

·如果事件相互獨立，那么．

·球的體積公式，其中表示球的半徑．

·圓錐的體積公式，其中表示圓錐的底面面積，表示圓錐的高．

一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

1. 集合，，則（   ）

A.  B.  C.  D.

2. 設，則“”是“”的（   ）

A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件

C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件

3. 下列圖中，相關性系數最大的是（    ）

A.  B.

C  D.

4. 下列函數是偶函數的是（   ）

A.  B.  C.  D.

5. 若，則大小關系為（   ）

A.  B.  C.  D.

6. 若為兩條不同的直線，為一個平面，則下列結論中正確的是（   ）

A. 若，，則 B. 若，則

C. 若，則 D. 若，則與相交

7. 已知函數的最小正周期為．則函數在的最小值是（   ）

A.  B.  C. 0 D.

8. 雙曲線的左、右焦點分別為是雙曲線右支上一點，且直線的斜率為2．是面積為8的直角三角形，則雙曲線的方程為（   ）

A.  B.  C.  D.

9. 一個五面體．已知，且兩兩之間距離為1．并已知．則該五面體體積為（   ）

A.  B.  C.  D.

第Ⅱ卷

注意事項：

1．用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上．

2．本卷共11小題，共105分．

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．試題中包含兩個空的，答對1個的給3分，全部答對的給5分．

10. 已知虛數單位，復數______．

11. 在的展開式中，常數項為______．

12. 的圓心與拋物線的焦點重合，為兩曲線的交點，則原點到直線的距離為______．

13. 五種活動，甲、乙都要選擇三個活動參加.（1）甲選到的概率為______；已知乙選了活動，他再選擇活動的概率為______．

14. 在邊長為1的正方形中，點為線段的三等分點， ，則______；若為線段上的動點，為中點，則的最小值為______．

15. 若函數有唯一零點，則的取值范圍為______．

三、解答題：本大題共5小題，共75分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟

16. 在中，．

（1）求；

（2）求；

（3）求．

17. 已知四棱柱中，底面為梯形，，平面，，其中．是的中點，是的中點．

（1）求證平面；

（2）求平面與平面的夾角余弦值；

（3）求點到平面距離．

18. 已知橢圓橢圓的離心率．左頂點為，下頂點為是線段的中點，其中．

（1）求橢圓方程．

（2）過點的動直線與橢圓有兩個交點．在軸上是否存在點使得恒成立．若存在求出這個點縱坐標的取值范圍，若不存在請說明理由．

19. 已知數列是公比大于0的等比數列．其前項和為．若．

（1）求數列前項和；

（2）設，，其中是大于1的正整數．

（?。┊?img src="http://img.gaosan.com/doc/266-20240611105035/20240611105035.125.png" width="52" height="24" alt="學科網(www.zxxk.com)--教育資源門戶，提供試卷、教案、課件、論文、素材以及各類教學資源下載，還有大量而豐富的教學相關資訊！" style="vertical-align:middle; -aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />時，求證：；

（ⅱ）求．

20. 設函數．

（1）求圖象上點處的切線方程；

（2）若在時恒成立，求的取值范圍；

（3）若，證明．

2024年普通高等學校招生全國統一考試（天津卷）

數學

本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時120分鐘．第Ⅰ卷1至3頁，第Ⅱ卷4至6頁．

答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上，并在規定位置粘貼考試用條形碼．答卷時，考生務必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無效．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．

祝各位考生考試順利！

第Ⅰ卷（選擇題）

注意事項：

1．每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．

2．本卷共9小題，每小題5分，共45分．

參考公式：

·如果事件互斥，那么．

·如果事件相互獨立，那么．

·球的體積公式，其中表示球的半徑．

·圓錐的體積公式，其中表示圓錐的底面面積，表示圓錐的高．

一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

【1題答案】

【答案】B

【2題答案】

【答案】C

【3題答案】

【答案】A

【4題答案】

【答案】B

【5題答案】

【答案】B

【6題答案】

【答案】C

【7題答案】

【答案】A

【8題答案】

【答案】C

【9題答案】

【答案】C

第Ⅱ卷

注意事項：

1．用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上．

2．本卷共11小題，共105分．

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．試題中包含兩個空的，答對1個的給3分，全部答對的給5分．

【10題答案】

【答案】

【11題答案】

【答案】20

【12題答案】

【答案】##

【13題答案】

【答案】    ①.     ②.

【14題答案】

【答案】    ①.     ②.

【15題答案】

【答案】

三、解答題：本大題共5小題，共75分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟

【16題答案】

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【17題答案】

【答案】（1）證明見解析   

（2）   

（3）

【18題答案】

【答案】（1）   

（2）存在，使得恒成立.

【19題答案】

【答案】（1）   

（2）①證明見詳解；②

【20題答案】

【答案】（1）   

（2）   

（3）證明過程見解析