2023年普通高等學校招生全國統一考試（全國甲卷）

文科數學

注意事項：

1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.

2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.

如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1. 設全集，集合，則（    ）

A.  B.  C.  D.

2 （    ）

A.  B. 1 C.  D.

3 已知向量，則（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 某校文藝部有4名學生，其中高一、高二年級各2名．從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演，則這2名學生來自不同年級的概率為（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 記為等差數列的前項和．若，則（    ）

A. 25 B. 22 C. 20 D. 15

6. 執行下邊的程序框圖，則輸出的（    ）

A. 21 B. 34 C. 55 D. 89

7. 設為橢圓的兩個焦點，點在上，若，則（    ）

A. 1 B. 2 C. 4 D. 5

8. 曲線在點處的切線方程為（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 已知雙曲線的離心率為，其中一條漸近線與圓交于A，B兩點，則（    ）

A.  B.  C.  D.

10. 在三棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，，則該棱錐的體積為（    ）

A. 1 B.  C. 2 D. 3

11 已知函數．記，則（    ）

A.  B.  C.  D.

12. 函數的圖象由的圖象向左平移個單位長度得到，則的圖象與直線的交點個數為（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13. 記為等比數列的前項和．若，則的公比為________．

14. 若為偶函數，則________．

15. 若x，y滿足約束條件，則的最大值為________．

16. 在正方體中，為的中點，若該正方體的棱與球的球面有公共點，則球的半徑的取值范圍是________．

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據要求作答.

（一）必考題：共60分.

17. 記的內角的對邊分別為，已知．

（1）求；

（2）若，求面積．

18. 如圖，在三棱柱中，平面．

（1）證明：平面平面；

（2）設，求四棱錐的高．

19. 一項試驗旨在研究臭氧效應，試驗方案如下：選40只小白鼠，隨機地將其中20只分配到試驗組，另外20只分配到對照組，試驗組的小白鼠飼養在高濃度臭氧環境，對照組的小白鼠飼養在正常環境，一段時間后統計每只小白鼠體重的增加量（單位：g）．試驗結果如下：

對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為

15.2  18.8  20.2  21.3  22.5  23.2  25.8  26.5  27.5  30.1

32.6  34.3  34.8  35.6  35.6  35.8  36.2  37.3  40.5  43.2

試驗組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為

7.8  9.2  11.4  12.4  13.2  15.5  16.5  18.0  18.8  19.2

19.8  20.2  21.6  22.8  23.6  23.9  25.1  28.2  32.3  36.5

（1）計算試驗組的樣本平均數；

（2）（ⅰ）求40只小白鼠體重的增加量的中位數m，再分別統計兩樣本中小于m與不小于m的數據的個數，完成如下列聯表

（ⅱ）根據（i）中的列聯表，能否有95%的把握認為小白鼠在高濃度臭氧環境中與在正常環境中體重的增加量有差異？

附：，

20. 已知函數．

（1）當時，討論的單調性；

（2）若，求的取值范圍．

21. 已知直線與拋物線交于兩點，．

（1）求；

（2）設為的焦點，為上兩點，且，求面積的最小值．

（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.

[選修4-4：坐標系與參數方程]（10分）

22. 已知點，直線（為參數），為傾斜角，與軸正半軸、軸正半軸分別交于，且．

（1）求；

（2）以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，求的極坐標方程．

[選修4-5：不等式選講]（10分）

23. 已知．

（1）求不等式的解集；

（2）若曲線與軸所圍成的圖形的面積為2，求．

2023年普通高等學校招生全國統一考試（全國甲卷）

文科數學

注意事項：

1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.

2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.

如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

【1題答案】

【答案】A

【2題答案】

【答案】C

【3題答案】

【答案】B

【4題答案】

【答案】D

【5題答案】

【答案】C

【6題答案】

【答案】B

【7題答案】

【答案】B

【8題答案】

【答案】C

【9題答案】

【答案】D

【10題答案】

【答案】A

【11題答案】

【答案】A

【12題答案】

【答案】C

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

【13題答案】

【答案】

【14題答案】

【答案】2

【15題答案】

【答案】15

【16題答案】

【答案】

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據要求作答.

（一）必考題：共60分.

【17題答案】

【答案】（1）   

（2）

【18題答案】

【答案】（1）證明見解析   

（2）

【19題答案】

【答案】（1）   

（2）（i）；列聯表見解析，（ii）能

【20題答案】

【答案】（1）在上單調遞減   

（2）

【21題答案】

【答案】（1）   

（2）

（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.

[選修4-4：坐標系與參數方程]（10分）

【22題答案】

【答案】（1）   

（2）

[選修4-5：不等式選講]（10分）

【23題答案】

【答案】（1）   

（2）