數系的擴充不僅僅是增加一種新的數，它還涉及數的運算，復數的引入，體現了數系擴充的必要性及現實意義；給出的相關規定體現了數系擴充后運算的封閉性，同時體現了規定的合理性。

數系的擴充和復數的概念

數系的擴充不僅僅是增加一種新的數，它還涉及數的運算．因此，數系的擴充還需保留原來的基本運算，用今天的話來講，就是要向前“兼容”，不能推倒小樓建大樓．具體來講，就是加、減、乘、除、乘方和開方的運算律應得到繼承．比如要滿足加法、乘法的交換率和結合律以及乘法對加法的分配律。

復數的引入，體現了數系擴充的必要性及現實意義；給出的相關規定體現了數系擴充后運算的封閉性，同時體現了規定的合理性。

數系的擴充它是在人類認識和運用數的歷史發展過程中，逐步形成的、不斷擴大數的范圍的一些基本原則。

這些原則是：

1、從數系A擴充到數系B必須是AB，即A是B的真子集；

2、數系A中定義了的基本運算能擴展為數系B的運算，且這些運算對于B中A的元來說與原來A的元間的關系和運算相一致；

3、A中不是永遠可行的某種運算，在B中永遠可行，例如，實數系擴充為復數系后，開方的運算就永遠可行，再如，自然數系擴充為整數系后，減法的運算就能施行等。

我們把形如z=a+bi（a,b均為實數）的數稱為復數，其中a稱為實部，b稱為虛部，i稱為虛數單位。當z的虛部等于零時，常稱z為實數；當z的虛部不等于零時，實部等于零時，常稱z為純虛數。

在每一次數系擴充中，人們都遵守了如下幾條原則：

1、擴充的目的：在原數集中某種運算不封閉，在擴充后的新數集中該運算封閉；

2、擴充后的集合要擴大：進行的每一次擴充都是從一個較小的原數集擴充到一個較大的新數集，且使得原數集是新數集的一部分；

3、保持原有的運算：進行擴充時,要使原數集中所能夠進行的運算在新的數集中有意義，并且當把原數集中的數看成新數集中的數進行運算時，其結果應與它們在原數集中所得到的結果完全相同；

4、擴充的最小性與唯一性：要使擴充后的新數集是原數集滿足以上的①、②、③原則的最小擴充，并且該擴充是唯一的。